一道经典不等式证明题的证法探究_图文

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    已知a,b > 0,且a +b =1,求(1+ 1 )(1+ 1)的最小值 ab 解:(1+ 1 )(1+ 1) = a +1 ? b+1 = ab+ a +b+1 abab ab = ab+1+1 ab = ab+2 ab =分1+离常2 数 ab 1 2 a(1 a ) 1 (a 2 1 )2 1 24 法一: 利用二次函数值域 当a = 1 2 时,1 (a 2 1 )2 1 有最小值9 24 即当且仅当a = b = 1 时,(1+ 1 )(1+ 1)最小值为9. 2 ab http://sgzx.baoan.edu.cn 爱国利民·自强不息 已知a,b > 0,且a +b =1,求(1+ 1 )(1+ 1)的最小值 ab 解:(1+ 1 )(1+ 1) = a +1 ? b+1 = ab+ a +b+1 abab ab = ab+1+1 = ab+ 2 =1+ 2 ab ab ab 法二: 利用基本不等式 基本不等式 ab ≤(a +b)2 = 1 4 4 当且仅当a = b = 1 时,等号成立. 2 ∴1+ 2 ≥1+8 = 9 ab 即当且仅当a = b = 1 时,(1+ 1 )(1+ 1)最小值为9. 2 ab http://sgzx.baoan.edu.cn 爱国利民·自强不息 “1”的代换 已知a,b > 0,且a +b =1,求(1+ 1 )(1+ 1)的最小值 ab 解:(1 1 )(1 1) (1 a b)(1 a b)= (2+ b )(2+ a ) ab a b ab = 4+2( b + a )+1 ab 法三: “1”的代换 与 基本不等式 基本不等式 ba 2 ab 当且仅当a = b = 1 时,等号成立. 2 ∴4+2( b + a )+1 ≥9 ab 即当且仅当a = b = 1 时,(1+ 1 )(1+ 1)最小值为9. 2 ab http://sgzx.baoan.edu.cn 爱国利民·自强不息 “1”的代换 cos2 sin2 1 已知a,b > 0,且a +b =1,求(1+ 1 )(1+ 1)的最小值 ab 解:(1+ 1 )(1+ 1) = a +1 ? b+1 = ab+ a +b+1 abab ab 三角代换 = ab+1+1 = ab+ 2 =1+ 2 ab ab ab 令a cos2 ,则b sin2 ,其中 R 法四: 三角代换 则1+ 2 =1+ 2 ab cos2 sin2 1 2 (sin 2 )2 当 4 2k ,k Z时,1 22 (sin 2 )2 有最小值9 2 即当且仅当a = b = 1 时,(1+ 1 )(1+ 1)最小值为9. 2 ab http://sgzx.baoan.edu.cn 爱国利民·自强不息 已知a,b > 0,且a +b =1,求(1+ 1 )(1+ 1)的最小值 ab 解:(1+ 1 )(1+ 1) = a +1 ? b+1 = ab+ a +b+1 abab ab 增量代换 = ab+1+1 = ab+ 2 =1+ 2 ab ab ab 令a 1 x,则b 1 x,其中 (- 1 ,1 ) 2 2 22 则1+ 2 ab =1+ (1 2 x)( 1 x) 1 1 2 x2 22 4 法五: 增量代换 当x = 0时,1 1 2 x2 有最小值9 即当且仅当a 4 =b = 1 时,(1+ 1 )(1+ 1 )最小值为9. 2 ab http://sgzx.baoan.edu.cn 爱国利民·自强不息 小结 方法: ? 二次函数值域 ? 基本不等式 ? 1的代换 ? 三角代换 ? 增量代换 数学思想 ? 函数与方程思想 ? 转化与化归思想 谢谢